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黎曼猜想到底在表達什么?

發布時間:2018/09/30 網站資訊 瀏覽次數:6388

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眾所周知黎曼幾何為愛因斯坦的相對論做出了完美的數學解釋,那么這個黎曼猜想到底說了些什么呢?

證明過程肯定很復雜的,我們就先不管它了,至于黎曼猜想的內容原來是這樣的。

在自然數序列中,質數(素數)的概念,是小學生都能夠理解的,數就是那些只能被1和自身整除的整數,比如2,3,5,7,11等等都是質數。4,6,8,9等等都不是質數。由于每個自然數都可以唯一地分解成有限個質數的乘積,因此在某種程度上,質數構成了自然數體系的基石,就好比原子是物質世界的基礎一樣。

質數的特性,讓數學界歷來都為它們迷戀不已。但是質數是沒有規律可循的,最早用數學表達式來表達質數的普遍規律,還是瑞士的天才數學家歐拉在1737年發表了歐拉乘積公式。在這個公式中,如鬼魅隨性的質數不再肆意妄為,終于向人們展示出了其循規蹈矩的一面。

沿著歐拉開辟的這一戰場,數學王子高斯(Gauss)和另一位數學大師勒讓德(Legendre)深入研究了質數的分布規律,終于各自獨立提出了石破天驚的質數定理。這一定理給出了質數在整個自然數中的大致分布概率,且和實際計算符合度很高。在和人們玩捉迷藏游戲兩千多年后,質數終于露出了其漂亮的狐貍尾巴。

雖然符合人們的期待,質數定理所預測的分布規律和實際情況仍然有偏差,且偏差情況時大時小,這一現象引起了黎曼的注意。

其時,年僅33歲的黎曼(Riemann)當選為德國柏林科學院通信院士。出于對柏林科學院所授予的崇高榮譽的回報,同時為了表達自己的感激之情,他將一篇論文獻給了柏林科學院,論文的題目就是《論小于已知數的質數的個數》。在這篇文章里,黎曼闡述了質數的精確分布規律。

沒有人能預料到,這篇短短8頁的論文,蘊含著一代數學大師高屋建瓴的視野和智慧,以至今日,人們仍然為隱匿在其中的奧秘而苦苦思索。

就是數學界在一百多年前,在研究質數的過程中,黎曼定義出來的黎曼Zeta函數,就是黎曼猜想的主要內容。

現在關鍵的問題,是當時黎曼認為很顯然的定理,沒有證明,出現了類似費馬猜想的烏龍,讓整個數學界前赴后繼,卻不能證明,但是他們延伸出來的應用,已經遍布整個科學體系的方方面面了。

黎曼在文章里定義了一個函數,它被后世稱為黎曼Zeta函數,Zeta函數是關于s的函數,其具體的定義就是自然數n的負s次方,對n從1到無窮求和。因此,黎曼Zeta函數就是一個無窮級數的求和。然而,遺憾的是,當且僅當復數s的實部大于1時,這個無窮級數的求和才能收斂(收斂在這里指級數的加和總數小于無窮)。

黎曼觀察到,素數的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ(s)的性態。黎曼假設斷言,方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對于開始的1,500,000,000個解驗證過。

黎曼ζ 函數 ζ(s) 是級數表達式:

為了研究Zeta函數的性質,黎曼通過圍道積分的方式對該函數做了一個解析延拓,將s存在的空間拓展為復數平面,其表達式:

研究函數的重要性質之一就是對其零點有深刻的認識。零點就是那些使得函數的取值為零的數值集合。比如一元二次方程一般有兩個零點,并且有相應的求根公式給出零點的具體表達式。

黎曼對解析延拓后的Zeta函數證明了其具有兩類零點。其中一類是某個三角sin函數的周期零點,這被稱為平凡零點;另一類是Zeta函數自身的零點,被稱為非平凡零點。針對非平凡零點,黎曼提出了三個命題。

第一個命題,黎曼指出了非平凡零點的個數,且十分肯定其分布在實部大于0但是小于1的帶狀區域上。

第二個命題,黎曼提出所有非平凡零點都幾乎全部位于實部等于1/2的直線上。從表達式:

不難看出,黎曼ζ 函數在 s=-2n (n 為正整數) 取值為零 – 因為 sin(πs/2) 為零。復平面上的這種使黎曼ζ 函數取值為零的點被稱為黎曼ζ 函數的零點。因此 s=-2n (n 為正整數)是黎曼ζ 函數的零點。這些零點分布有序、 性質簡單, 被稱為黎曼ζ 函數的平凡零點 (trivial zero)。除了這些平凡零點外,黎曼ζ 函數還有許多其它零點, 它們的性質遠比那些平凡零點來得復雜, 被稱為非平凡零點 (non-trivial zeros)。

黎曼ζ 函數的所有非平凡零點都位于復平面上 Re(s)=1/2 的直線上,也即方程ζ(s)=0的解的實部都是1/2。

在黎曼猜想的研究中, 數學家們把復平面上 Re(s)=1/2 的直線稱為 critical line(臨界線)。運用這一術語,黎曼猜想也可以表述為:黎曼ζ 函數的所有非平凡零點都位于 critical line 上。

第三個命題,黎曼用十分謹慎的語氣寫到:很可能所有非平凡零點都全部位于實部等于1/2的直線上。這條線,從此被稱為臨界線。而最后這個命題,就是讓后世數學家如癡如醉且寢食難安的黎曼猜想。

黎曼函數還可以如下的一些表達方式:

有人曾經問希爾伯特,如果500年后能重回人間,他最希望了解的事情是什么?希爾伯特回答說:我想知道,黎曼猜想解決了沒有。美國數學家蒙哥馬利(Montgomery)曾經也表示,如果有魔鬼答應讓數學家們用自己的靈魂來換取一個數學命題的證明,多數數學家想要換取的將會是黎曼猜想的證明。黎曼猜想,儼然就是真理的宇宙里,數學家心目中那顆最璀璨的明星。

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